傾き，\(\Large \displaystyle \hat{a_1} \)，の分散
次はいよいよ，\(\Large \displaystyle \hat{a_1} \)，の分散の推定です．もういちどおさらいするとは最初の頁から誤差を含めて，
\(\Large \displaystyle Y_i = a_0 + a_1 X_i + u_i \)
でした．ｎ個のデータのそれぞれの平均をとると，
\(\Large \displaystyle \sum_{i=1}^n Y_i = \sum_{i=1}^n a_0 + \sum_{i=1}^n a_1 X_i + \sum_{i=1}^n u_i\)
となります，ここで，
\(\Large \displaystyle \bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i \)
\(\Large \displaystyle \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \)
\(\Large \displaystyle \bar{u} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n u_i \)
とすると，
\(\Large \displaystyle \bar{Y} = a_0 + a_1 \bar{X} + \bar{u} \)
となります．したがって，
\(\Large \displaystyle Y_i - \bar{Y} = a_1 \left( X_i - \bar{X} \right) + ( u_i - \bar{u}) \)
と記すことができます．
\(\Large \displaystyle \hat{a_1} \)，の書き換え
前頁から，\(\Large \displaystyle \hat{a_1} \)は，
\(\Large \displaystyle \hat{a_1} = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \bar{X} \right) \left(Y_i - \bar{Y} \right)}{\sum_{i=1}^{n} \left( X_i - \bar{X} \right)^2} \)
でしたので，上記の式を代入すると，
\(\Large \displaystyle \hat{a_1} = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \bar{X} \right) \left\{a_1 \left( X_i - \bar{X} \right) + ( u_i - \bar{u}) \right\}}{\sum_{i=1}^{n} \left( X_i - \bar{X} \right)^2} \)
となります．式を分けると，
\(\Large \displaystyle \hat{a_1} = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \bar{X} \right) \left\{a_1 \left( X_i - \bar{X} \right) \right\}}{\sum_{i=1}^{n} \left( X_i - \bar{X} \right)^2}
+ \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \bar{X} \right) ( u_i - \bar{u}) }{\sum_{i=1}^{n} \left( X_i - \bar{X} \right)^2}
\)
となりますが，第一項の分子分母がきれいになるので，
\(\Large \displaystyle \hat{a_1} = a_1
+ \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \bar{X} \right) ( u_i - \bar{u}) }{\sum_{i=1}^{n} \left( X_i - \bar{X} \right)^2}
\)
さらに，第二項を分けると
\(\Large \begin{eqnarray} \displaystyle \hat{a_1} &=& a_1
+ \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \bar{X} \right) u_i }{\sum_{i=1}^{n} \left( X_i - \bar{X} \right)^2}
- \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \bar{X} \right) \bar{u} }{\sum_{i=1}^{n} \left( X_i - \bar{X} \right)^2} \\
&=& a_1
+ \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \bar{X} \right) u_i }{\sum_{i=1}^{n} \left( X_i - \bar{X} \right)^2}
- \frac{\bar{u} \sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \bar{X} \right) }{\sum_{i=1}^{n} \left( X_i - \bar{X} \right)^2} \\
\end{eqnarray} \)
第三項の分子の総和部分は，
\(\Large \displaystyle = \sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \bar{X} \right) \)
\(\Large \displaystyle = \sum_{i=1}^{n} X_i - n \bar{X} \)
\(\Large \displaystyle = n \bar{X} - n \bar{X} = 0 \)
となり，消えるので，
\(\Large \begin{eqnarray} \displaystyle \hat{a_1} &=& a_1
+ \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \bar{X} \right) u_i }{\sum_{i=1}^{n} \left( X_i - \bar{X} \right)^2}
\\
&=& a_1
+ \sum_{i=1}^{n} \omega_i u_i
\\
\end{eqnarray} \)
となります．ここで，
\(\Large \displaystyle \omega_i = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \bar{X} \right) }{\sum_{i=1}^{n} \left( X_i - \bar{X} \right)^2} \)
とします．
\(\Large \displaystyle \hat{a_1} \)，の分散
傾きの推定値，\(\Large \displaystyle \hat{a_1} \)，の分散は，
\(\Large \displaystyle V \left[\hat{a_1} \right] =V \left[ a_1 + \sum_{i=1}^{n} \omega_i u_i \right] \)
となりますが，
第一項，β，は定数なので分散は０
第二項，のωiは，Xiの項なので，定数（Xは誤差を持たないと仮定しているので）
に注意すると，
\(\Large \displaystyle V \left[\hat{a_1} \right] =V \left[a_1 + \sum_{i=1}^{n} \omega_i u_i \right] = V \left[ \sum_{i=1}^{n} \omega_i u_i \right]= \sum_{i=1}^{n} \omega_i^2 V[u_i ]= \sigma^2 \sum_{i=1}^{n} \omega_i^2 \)
となります，ここで，
\(\Large \displaystyle V[u_i ] \equiv \sigma^2 \)
です．次に，\(\Large \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \omega_i^2 \)，を整理しましょう．
\(\Large \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \omega_i^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \bar{X} \right)^2 }{\left\{ \sum_{i=1}^{n} \left( X_i - \bar{X} \right)^2 \right\}^2}
= \frac{1 }{\sum_{i=1}^{n} \left( X_i - \bar{X} \right)^2}
\)
と簡単になるので，
\(\Large \displaystyle \color{red}{V \left[ \hat{a_1} \right] = \sigma^2 \sum_{i=1}^{n} \omega_i^2
= \frac{\sigma^2 }{\sum_{i=1}^{n} \left( X_i - \bar{X} \right)^2}} \)
となります．
では，次に切片，\(\Large \displaystyle \hat{a_0} \)，の分散を求めていきましょう．